Simone如图，四棱锥中S-ABCD中，底面ABCD是棱形，其对角线的交点为O，且SA=AC，SA⊥BD，（Ⅰ）求证：SO⊥平面ABCD；（Ⅱ）设∠BAD=60°，AB=SO=2，P是侧棱上的一点，且SD⊥平面APC，求直线SB与平面APC所成的角的正弦值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点M，使SM∥平面APC？若存在，求出BM的长，若不存在，说明理由．
的有关信息介绍如下：
【解答】解：（I）证明：∵四棱锥中S-ABCD中，底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又由SA⊥BD，SA∩AC=A
∴BD⊥平面SAC，又由SO⊂平面SAC，
∴SO⊥BD，
又由SA=AC，O为AC的中点，
故SO⊥AC，又由BD∩AC=O
∴SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以O为原点，以OA，OB，OS为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系
∵∠BAD=60°，底面ABCD为菱形，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
又由AB=SO=2，
∴B（0，1，0），D（0，-1，0），S（0，0，2），C（-
，0，0）
∴
=（0，1，-2），
=（0，-1，-2）
∵SD⊥平面APC，
∴
=（0，-1，-2）是平面APC的一个法向量
∵cos＜
，
＞=
=
∴直线SB与平面APC所成角的正弦值为
（III）假设在侧棱SC上存在一点M满足题意，
设
=λ
，
则
=
+λ
=（-
，-1，0）+λ(
，0，2)=（
λ-
，-1，2λ）
由BM∥平面APC得，BM⊥SD，
∴
•
=0，即1-4λ=0
∴λ=
∵0＜
＜1
∴在侧棱SC上存在一点M，使BM∥平面PAC，且CM=
SC=
