从数学专业基础课程数学分析开始的杂谈

从数学专业基础课程数学分析开始的杂谈

数学专业的学生都知道，数学分析和高等代数以及空间解析几何是数学专业学生的三大基础课。其重要性不言而喻。也是后续包括常微分方程、复变函数、实变函数、概率论等的基础。

数学分析以极限为基础，从数列极限到函数极限（数列也是特殊的函数），通过极限定义了函数的连续性以及函数的可导性。从一元函数到二元函数甚至多元函数都是以极限为基础。介绍了函数极限的性质，包括保号性、保不等式性、局部有界性、迫敛性等进而连续函数通过极限定义也会具有这些基本的性质或者更良好的性质。从连续性延伸到一致连续性，这是一种更强的连续性从图像上看一致连续的函数图像不但不间断而且比较平缓不会突然变得陡峭。同时我们也给出了像利普希茨连续、导数有界这样函数在某个区间一致连续的充分条件。

数学是严谨的，不能通过直观看上去图像连续函数在定义区间就连续，因为连续函数有很多良好的性质所以我们都希望可以找到更多连续甚至可导这些有良好性质的函数，在数学分析里我们给出了函数连续的数学语言。可以粗略的认为：“一个在定义区间连续的函数就像是一个人在几天之内可能会有变化比如可能会换衣服会打扮但是本质还是这个人熟人还是认得不会几天就变化的特别大”。而连续函数就是，在给定的范围内函数值不会变化得太快这就是连续函数。

当然我们也会讲到积分，不管是不定积分（没有积分上下限结果是一个函数族也是在求线性常微分方程经常用到的）或者定积分（一个变量的积分有上下限结果是数字几何意义是曲边梯形的面积）还是二重积分（二个变量的积分几何意义是曲顶柱体的体积）、三重积分（到四维空间了，没有几何意义有物理意义）他们的基础都是不定积分，不定积分就像一个运动员的体能没有良好体能的运动员，其他的项目也是做不了的。

当然也会有级数、函数项级数我们会说到函数项级数的收敛性以及一致收敛性。一致收敛可以给我们带来很多好的结论比如交换积分和极限的次序、交换求导和求极限的次序等等。有一元函数的积分自然也有二元函数的积分有有限区间的积分就会有无限区间的积分（一元和二元）我们自然也可以讨论他们的收敛性和一致收敛性。我们也可以知道连续性和收敛性是局部概念而一致连续和一致收敛是整体的概念他们是对定义区间来说的而不是某个点。

还有很多很多，包括实数完备性定理和微分中值定理等。学习数学分析的好处是我们可以更加深刻地去认识一些函数，原来他们还有这些性质，知道结论是对的以及为什么是对的。包括中学的时候我们学到的柯西不等式、琴生不等式、多元均值不等式等，学了数学分析就有很好的方法可以证明他们当然也可以证明其他的很多不等式。会认识的更加深刻以及函数的构造，我们可以解一个简单的微分方程就可以构造出选择压轴题所需要的函数从而解决问题。中值定理和洛必达法则在高考数学压轴题也是必要的他们可以简化我们很多的解题步骤。