在直角坐标系中，定义：(xn，yn)111−1＝(xn+1，yn+1)，即xn+1＝xn+ynyn+1＝xn−yn（n∈N*）为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换．我们把它称为点变换（或矩阵变换）．已知P1（1，0）．（1）求直线y=x在矩阵变换下的直线方程；（2）设dn=|OPn|2（n∈N*），求证：dn为等比数列，并写出dn的通项公式；（3）设P2（x2，y2）…，Pn（xn+1，yn+1）（n∈N*）是经过点变换得到的一列点．求数列xn，yn的通项公式．

在直角坐标系中，定义：(xn，yn)111−1＝(xn+1，yn+1)，即xn+1＝xn+ynyn+1＝xn−yn（n∈N*）为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换．我们把它称为点变换（或矩阵变换）．已知P1（1，0）．（1）求直线y=x在矩阵变换下的直线方程；（2）设dn=|OPn|2（n∈N*），求证：dn为等比数列，并写出dn的通项公式；（3）设P2（x2，y2）…，Pn（xn+1，yn+1）（n∈N*）是经过点变换得到的一列点．求数列xn，yn的通项公式．

（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），

所以直线y=x变成x轴，即直线y=0；

（2）（1）因为dn+1dn=xn+12yn+12xn2+yn2=(xn+yn)2+(xn−yn)2xn2+yn2

所以dn是首项为1，公比为2的等比数列，dn=2n-1；

（3）由

xn+1＝xn+ynyn+1＝xn−yn，xn=xn-1+yn-1=xn-2+yn-2+xn-2-yn-2=2xn-2（n≥3），

所以x1=1，x2=1，xn=2xn-2（n≥3），同理得y1=0，y2=1，yn=2yn-2（n≥3），

则yn＝2n2−1(n为偶数)0(n为奇数)<用户2017-11-10举报