多项式的定义

多项式的定义

在数学中，多项式是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式。对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。单项式和多项式统称为整式。

在实际问题中，往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x)，通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值yi=F(xi)，j=1，2，…,n+1。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式，倘若较为复杂，也不便于计算。

因此，需要根据给定点上的函数值F(xi),求出一个既能反映F(x)的特性，又便于计算的简单函数ƒ(x)来近似地代替F(x)，此时ƒ(x)称为F(x)的插值函数；x1，x2,…,xn+1，称为插值节点。求插值函数的方法，称为插值法。

多项式是一类简单的初等函数，而且任给两组数：b1，b2，…bn+1和各不相同的с1，с2…сn+1，总有唯一的次数不超过n的多项式ƒ(x)满足ƒ(сi)=bi，i=1，2…n+1。因此在实际应用中常常取多项式作为插值函数。作为插值函数的多项式，称为插值多项式。插值多项式在计算数学插值中最常用。