椭圆面积公式是怎么推导出来的？

椭圆面积公式是怎么推导出来的？

利用定积分算出来的. 椭圆x²/a²+y²/b²=1是中心对称和轴对称,每一个象限的面积都相同,所以可以先算第一象限的面积,再乘以4. 设x²/a²+y²/b²=1在第一象限内确定了一个函数y=f(x),则该区域面积可表示为 ∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]ydx 由椭圆的参数方程,y=bsint,x=acost,(0≤t≤π/2)得dx=-asintdt 当x从0变到1时,t从π/2变到0 ∴∫[0,1]ydx=∫[π/2,0]bsint*(-asintdt) =-ab∫[π/2,0]sin²tdt =ab∫[0,π/2]sin²tdt =ab(x/2-1/4*sin2x)|[0,π/

椭圆面积公式:S=π(圆周率)×a×b，其中a、b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长。 椭圆的面积推导方式如下： 设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 取第一象限内面积 有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2 即 y=√(b^2-b^2/a^2*x^2) =b/a*√(a^2-x^2) 由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据(af(x))'=a*f'(x),且x=a时圆面积为a^2π/4 可得 当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4 即S=abπ。

纯代数方法： 用仿射变换x1=x/a, y1=y/b. 将椭圆变成单位圆。因为椭圆的A(a,0)；B(0,b); O(0,0)的象为A1(1,0)；B1(0,1); O1(0,0). 而ΔABO的面积为0.5ab。ΔA1B1O1的面积为0.5。因为仿射变换保持面积比不变。单位圆的面积是π。所以椭圆的面积为abπ。

对第一象限部分的积分，结果乘以四。（积分的意义）

x的上下限应该是0到a，不要误导高中生